Question

已知不等式組

y≤x y≥-x x≤2

表示的平面區(qū)域為M，直線y=x與曲線y=

1

2

x2所圍成的平面區(qū)域為N．
（1）區(qū)域N的面積為

2

3

；
（2）現隨機向區(qū)域M內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為

1

6

．

Answer 1

分析：（1）先聯立兩個曲線的方程，求出交點，以確定積分公式中x的取值范圍，最后根據定積分的幾何意義表示出區(qū)域N的面積，根據定積分公式解之即可．
（2）先求出區(qū)域M的面積，然后利用（1）中定積分求區(qū)域N的面積，最后利用幾何概型的概率公式解之即可．

解答：解：（1）由方程組

y= 1 2 x2 y=x

解得，x₁=0，x₂=2．
故所求圖形的面積為S=∫₀²xdx-∫₀²

1

2

x²dx
=

1

2

×2²-

1

6

×2³=

2

3

（2）不等式組

y≤x y≥-x x≤2

表示的平面區(qū)域M為一三角形，其面積為4，
由（1）知區(qū)域N的面積為

2

3

，
∴向區(qū)域M內隨機拋擲一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為

2 3

4

=

1

6

故答案為：

2

3

；

1

6

．

點評：本題主要考查了幾何概型的概率，以及利用定積分求區(qū)域面積，屬于中檔題．