Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)將a=1代入函數(shù)，再求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間；(2)法一：先對函數(shù)求導(dǎo)：當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且x=1為的極值點(diǎn)，當(dāng) 所以，，當(dāng)，所以此時有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，再分成三種情況， ，三種情況進(jìn)行討論，最后取并集即得a的范圍。法二：分離參變量，每一個a對應(yīng)兩個x，根據(jù)新構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和值域，找到相應(yīng)滿足條件的a的范圍即可。

(1) 當(dāng)

令，可得，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

所以函數(shù)減區(qū)間在區(qū)間，增區(qū)間

(2) 法一：函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，

則

⑴當(dāng)時，令可得，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

且，當(dāng)；當(dāng) 所以

所以有兩個零點(diǎn).，符合

⑵當(dāng)，只有一個零點(diǎn)2，所以舍

⑶設(shè)，由得或，

①若，則，所以在單調(diào)遞增，所以零點(diǎn)至多一個.（舍）

②若，則，故時，，當(dāng)時，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。又，要想函數(shù)有兩個零點(diǎn)，必須有，其中.

又因?yàn)楫?dāng)時，，所以

故只有一個零點(diǎn)，舍

③若，則，故時，，；當(dāng)時，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。又極大值點(diǎn)，所以只有一個零點(diǎn)在（舍）

綜上，的取值范圍為。

法二：

，所以不是零點(diǎn).

由，變形可得.

令，則，

即.

當(dāng)，；當(dāng)，.

所以在遞增；在遞減.

當(dāng)時,,當(dāng)時，.所以當(dāng)時，值域?yàn)?/span>.

當(dāng)時,,當(dāng)時，.所以當(dāng)時，值域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>有兩個零點(diǎn)，故的取值范圍是

故的取值范圍是.