【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)恰有一個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當,且時,證明:.(常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
1,等價于方程在恰有一個變號零點.
即在恰有一個變號零點.令,利用函數(shù)圖象即可求解.
2要證明:只需證明,即證明要證明,即證明利用導數(shù)即可證明.
Ⅰ,,
,
函數(shù)恰有一個極值點,
方程在恰有一個變號零點.
在恰有一個變號零點.
令,則.
可得時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
時,,函數(shù)單調(diào)遞減.
函數(shù)草圖如下,
可得,
.
實數(shù)a的取值范圍為:
2要證明:證明.
證明,即證明.
令則,
時,,函數(shù)遞增,時,,遞減.
,即原不等式成立.
要證明,即證明.
,
故只需證明即可.
令,則.
時,,函數(shù)遞減,時,,函數(shù)遞增.
,
又,
故原不等式成立.
綜上,,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】雙十一購物狂歡節(jié),源于淘寶商城(天貓)年月日舉辦的網(wǎng)絡促銷活動,目前已成為中國電子商務行業(yè)的年度盛事,某商家為了解“雙十一”這一天網(wǎng)購者在其網(wǎng)店一次性購物情況,從這一天交易成功的所有訂單里隨機抽取了份,按購物金額(單位:元)進行統(tǒng)計,得到如下頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表計算).
(1)求的值;
(2)試估計購物金額的平均數(shù);
(3)若該商家制訂了兩種不同的促銷方案:
方案一:全場商品打八折;
方案二:全場商品優(yōu)惠如下表:
購物金額范圍 | ||||||
商家優(yōu)惠(元) |
如果你是購物者,你認為哪種方案優(yōu)惠力度更大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)求證:PA∥平面BDE;
(2)求證:PB⊥平面DEF.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為R,且對于任意x∈R,都有及成立,當且時,都有成立,下列四個結(jié)論中不正確命題是( )
A.B.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
C.直線是函數(shù)的一條對稱軸D.方程在區(qū)間上有4個不同的實根
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點為,離心率為,是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點,為坐標原點,關(guān)于的對稱點為,,圓:.
(1)求橢圓和圓的標準方程;
(2)過點作與圓相切于點,使得點,點在的兩側(cè).求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下:觀察圖形,回答下列問題:
(1)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少?
(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。(不要求寫過程)
(3) 從成績是80分以上(包括80分)的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 位置關(guān)系不確定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點( )
A.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標保持不變
B.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標縮短為原來的,縱坐標保持不變
C.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標保持不變
D.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標縮短為原來的,縱坐標保持不變
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