已知對(duì)任意正整數(shù)n,函數(shù)恒存在極小值an(a>0),
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)求an并判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;
(Ⅲ)是否存在m∈N*,使am>0,若存在,求m的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)的極小值處導(dǎo)數(shù)等于0,且極小值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正,若恒存在極小值an(a>0),則導(dǎo)數(shù)等于0必有正解.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225241175336809/SYS201311012252411753368021_DA/1.png">,所以方程x2-2nx+a=0必有兩正根,則△>0恒成立,解得a的范圍即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函數(shù)的極小值是方程x2-2nx+a=0的根,解方程,根據(jù)一元二次方程根的分布,可判斷當(dāng)n=時(shí)函數(shù)有極小值,求出極小值.再利用導(dǎo)數(shù)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.
(Ⅲ)先假設(shè)存在m∈N*,使am>0,由(Ⅱ)已判斷數(shù)列{an}是單調(diào)減數(shù)列,所以當(dāng)n=1時(shí)an最大,只需求an,看是否大于0,即可.
解答:解:(Ⅰ)
由條件得:方程x2-2nx+a=0必有兩根,
∵兩根之和為2n>0,兩根之積為a>0
∴兩根必為正根
則△=4n2-4a>0,
得a<n2,對(duì)一切正整數(shù)n都成立
所以,a的取值范圍是0<a<1.
(Ⅱ)為函數(shù)的極小值
設(shè),(x≥1),則
因?yàn)閤≥1,所以,得g'(x)<0,
所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,故{an}是遞減數(shù)列.
(Ⅲ)假設(shè)存在m∈N*,使am>0,
由(Ⅱ)知{an}是遞減數(shù)列,先考慮第一項(xiàng)
,則t∈(0,1),a1=φ(t)=2t-2ln(1+t),則,φ(t)單調(diào)遞增,φ(t)>φ(0)=0,所以a1>0;
再考慮第二項(xiàng)
,則,a2=h(u)=2u-4ln(2+u),則h(u)單調(diào)遞增,h(u)<h(2)=4-4ln4<0,所以a2<0,
故存在m=1符合題意.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極小值,以及利用導(dǎo)數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性,及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用.
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A、(2n-1)2
B、
1
3
(2n-1)
C、
1
3
(4n-1)
D、4n-1

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(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列; 
(2)若正整數(shù)n,m,k成等差數(shù)列,求證:
1
Sn
+
1
Sk
2
Sm

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ax
-2nlnx
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1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
a100-1
=
33
100
33
100

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