【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為,,證明:.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出,令,則,分和兩種情況討論
(2)由(1)可知,,所以,要證:,即證,然后構(gòu)造函數(shù)即可.
(1)由題意可知,的定義域?yàn)?/span> 且
令
則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于
在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
由可知,
當(dāng)時(shí),恒成立,即函數(shù)在上單調(diào),不符合題意,舍去.
當(dāng)時(shí),由得,,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
由得,,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
故要滿足題意,必有 解得:
(2)證明:由(1)可知,,所以
故要證:
即證:
即證:不妨設(shè),即證
構(gòu)造函數(shù): ,其中
由,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
所以,原式得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的某年春節(jié)期間:中國(guó)民航出入境航線方面TOP10出入境國(guó)家和地區(qū)的旅客量以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)圖表,下面敘述不正確的是( )
A.東南亞仍是人們出境旅游的首選
B.臺(tái)灣和澳門(mén)均有超過(guò)一成的同比增長(zhǎng)
C.越南和美國(guó)排在人們出境旅游選擇的前兩位
D.中-韓航線雖依然位列出入境國(guó)家和地區(qū)第三甲,但旅客量卻較去年出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱-的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,底面,點(diǎn)分別是棱,上的點(diǎn),且
(Ⅰ)證明:平面平面;
(II)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且,的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的恒成立.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足問(wèn):是否存在正整數(shù),使得,若存在求出的值,若不存在,說(shuō)明理由;
(3)若存在各項(xiàng)均為正整數(shù)公差為的無(wú)窮等差數(shù)列,滿足,且存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列,求的所有可能的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為.現(xiàn)從該棱錐的個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值;
(2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】垃圾分類,是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn),從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值,力爭(zhēng)物盡其用.2019年6月25日,生活垃圾分類制度入法.到2020年底,先行先試的46個(gè)重點(diǎn)城市,要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng);其他地級(jí)城市實(shí)現(xiàn)公共機(jī)構(gòu)生活垃圾分類全覆蓋.某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組,對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道.該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選,篩選方法:每位員工測(cè)試,,三項(xiàng)工作,3項(xiàng)測(cè)試中至少2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工,將被認(rèn)定為“暫定”,有且只有一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再測(cè)試,兩項(xiàng),如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上(含1項(xiàng))測(cè)試“不合格”,將也被認(rèn)定為“暫定”,每位員工測(cè)試,,三項(xiàng)工作相互獨(dú)立,每一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為.
(1)記某位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為,求;
(2)每位員工不需要重新測(cè)試的費(fèi)用為90元,需要重新測(cè)試的總費(fèi)用為150元,除測(cè)試費(fèi)用外,其他費(fèi)用總計(jì)為1萬(wàn)元,若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬(wàn)元,且該600名員工全部參與測(cè)試,問(wèn)上述方案是否會(huì)超過(guò)預(yù)算?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知P是圓上任意一點(diǎn),F2(1,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與(1)中曲線相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),則下列判斷正確的是( )
①平面平面
②平面
③異面直線與所成角的取值范圍是
④三棱錐的體積不變
A.①②B.①②④C.③④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)在線段上,.把沿翻折至的位置,平面,連結(jié),點(diǎn)在線段上,,如圖2.
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.
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