Question

已知(＋x²)²ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x－1)ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求(2x－)²ⁿ的展開式中：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

（1）第6項(xiàng)   （2）第4項(xiàng)

由題意知，2²ⁿ－2ⁿ＝992，
即(2ⁿ－32)(2ⁿ＋31)＝0.
∴2ⁿ＝32，解得n＝5.
(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x－)¹⁰的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
即T₆＝·(2x)⁵·(－)⁵＝－8064.
即二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)為－8064.
(2)設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大．
∵T_r＋1＝·(2x)^10－r·(－)^r
＝(－1)^r·2^10－r·x^10－2r，
∴，得 
即
解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3.
故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，
T₄＝－·2⁷·x⁴＝－15360x⁴.