Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）當(dāng)且時，函數(shù)的圖象總在直線的下方，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由切線方程可得,解方程即可;

由題意知,對任意恒成立等價于不等式對任意恒成立,

令函數(shù)，證明在恒成立即可;

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求最值即可求出實數(shù)的取值范圍.

依題意，，

故，則，解得；

依題意，當(dāng)時，恒成立,

即對任意恒成立，

令，證明在恒成立即可,

因為，

令，當(dāng)時，圖象開口向下，

又因為在上有兩個零點1和，

①當(dāng)時，即，此時在上恒成立，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，

所以函數(shù)在恒成立,符合題意;

②當(dāng)時,即，此時當(dāng)時, ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，

所以函數(shù)在恒成立,符合題意;

③當(dāng)時，即，此時當(dāng)時,，

當(dāng)時, ，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

所以，不符合題意;

綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.