Question

數(shù)列{a_n}的前N項和為S_n(N∈N^*)，S_n=(M+1)-ma_n對任意的N∈N^*都成立，其中M為常數(shù)，且M＜-1.

(1)求證:數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列;

(2)記數(shù)列{a_n}的公比為q,設(shè)q=f(M).若數(shù)列{b_n}滿足:b₁=a₁,b_n=f(b_n-1)(N≥2,N∈N^*),求證:數(shù)列{}是等差數(shù)列;

(3)在(2)的條件下,設(shè)c_n=b_n·b_n+1,數(shù)列{c_n}的前N項和為T_N,求證:T_N＜1.

Answer 1

證明：(1)當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1.

∵S_n=(m+1)-ma_n, ①

∴S_n-1=(m+1)-ma_n-1(n≥2). ②

①-②得a_n=ma_n-1-ma_n(n≥2)∴（m+1）a_n=ma_n-1.

∵a₁≠0,m＜-1,∴a_n-1≠0,m+1≠0.∴=(n≥2).

∴數(shù)列｛a_n｝是首項為1,公比為的等比數(shù)列.

(2)f(m)=,b₁=a₁=1,b_n=f(b_n-1)=.

∴=.∴-=1(n≥2).

∴數(shù)列｛｝是首項為1,公比為1的等比數(shù)列.

(3)由（2）得=n,則b_n=.c_n=b_n·b_n+1=.

T_n=++…+=-+-+-+…+-=1-＜1.