Question

已知y=f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)t，都有函數(shù)g（x）=f（x+t）-f（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象可能為如圖中（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得函數(shù)y=f'（x）是其定義域上的減函數(shù)．由此再結(jié)合各圖象對(duì)應(yīng)的基本初等函數(shù)，利用求導(dǎo)法則求出它們的導(dǎo)數(shù)，再討論導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，即可得到正確答案．

解答：解：∵函數(shù)g（x）=f（x+t）-f（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∴g'（x）=f'（x+t）-f'（x）＜0在其定義域內(nèi)恒成立
即f'（x+t）＜f'（x），結(jié)合t＞0，得函數(shù)y=f'（x）是其定義域上的減函數(shù)．
對(duì)于A，可設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
∴f'（x）=2ax+b，滿(mǎn)足在其定義域上為減函數(shù)；
對(duì)于B，可設(shè)f（x）=a^x，（0＜a＜1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于C，可設(shè)f（x）=x³，可得f'（x）=3x²在其定義域上不是減函數(shù)，故C不正確；
對(duì)于D，可設(shè)f（x）=a^x，（a＞1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函數(shù)，不符合題意．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足的條件，求函數(shù)可能的圖象．考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性質(zhì)關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．