Question

設函數(shù)f（x）=x³+x，x∈R．若當0＜θ＜

π

2

時，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A．（-∞，1]
• B．[1，+∞）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)f（x）=x³+x單調(diào)遞增的性質(zhì)，可將不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為msinθ＞m-1恒成立，由0＜θ＜

π

2

，可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x³+x為奇函數(shù)；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x³+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1（0＜θ＜

π

2

）恒成立?m（1-sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜

π

2

知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，

1

1-sinθ

＞1
由m＜

1

1-sinθ

恒成立知：m≤1．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故選A．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，屬于中檔題．