【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+.

(I)當a=時,求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;

(II)函數(shù)f(x)是否存在零點?若存在,求出零點的個數(shù);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-3x-l.(2)見解析

【解析】分析:(I)求得函數(shù)的導數(shù),得,即可利用直線的點斜式方程得到切線的方程;

(II)由函數(shù)的解析式,分類討論,其中當時,利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性與最值,即可得到函數(shù)零點的個數(shù).

詳解:(I)f(x)=ex+,f'(x)=ex,f' (0)=1-.

a=時,f'(0)=-3. f(0)=-1,則f(x)在x=0處的切線方程為y=-3x-l.

(II)函數(shù)f(x)的定義域為(-,a)(a,+).

x∈(a,+)時,ex>0,>0,所以f(x)=ex+>0,

f(x)在區(qū)間(a,+∞)上沒有零點.

x∈(-∞,a)時,f(x)=ex+=,

g(x)=ex(x-a)+1,只要討論g(x)的零點即可.

g'(x)=ex(x-a+1),g'(a-1)=0.

x∈(-∞,a-1)時,g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);

x∈(a-1,a)時,g'(x)>0,g(x)是增函數(shù),

所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)上的最小值為g(a-1)=1-ea1.

a=1時,g(a-1)=0,所以x=a-1f(x)的唯一的零點;

a<l時,g(a-1)=1-ea1>0,所以f(x)沒有零點;

a>l時,g(a-1)=1-ea1<0. 所以f(x)有兩個零點.

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