Question

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足．
（1）求離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為；
①求此時(shí)橢圓G的方程；
②設(shè)斜率為k（k≠0）的直線L與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，
（1）我們?cè)O(shè)M（x，y），則易得向量的坐標(biāo)，由，結(jié)合向量垂直的充要條件，我們即可得到x，y的關(guān)系式，又由M又在橢圓上，代入橢圓方程即可得到離心率的取值范圍．
（2）①由（1）的結(jié)論，我們易得到離心率e取得最小值時(shí)的橢圓方程（含參數(shù)），再點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，我們易得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程即可得到橢圓的方程．②設(shè)出未知直線的方程，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，然后使用“設(shè)而不求”的方法，結(jié)合韋達(dá)定理及A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則
由（1分）
又M在橢圓上，∴（2分）
∴，（3分）
又0≤x²≤a²∴，（4分）
∵0＜e＜1，∴（5分）
（2）①當(dāng)時(shí)得橢圓為
設(shè)H（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，
則|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b）
（6分）
設(shè)0＜b＜3，則-3＜-b＜0，當(dāng)y=-b時(shí)，|HN|_max²=b²+6b+9，，由題意得b²+6b+9=50
∴，與0＜b＜3矛盾，（7分）
設(shè)b≥3得-b≤-3，當(dāng)y=-3時(shí)，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，（合題薏）
∴橢圓方程是：（8分）
②．設(shè)l：y=kx+m由
而△＞0⇒m²＜32k²+16（9分）
又A、B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱
∴，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則（10分）
∴（11分）
∴（10分）
又k≠0，∴或（11分）
∴需求的k的取值范圍是或（12分）
點(diǎn)評(píng)：在處理直線與圓錐曲線的關(guān)系類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們的使用的方法及思路一般有：①聯(lián)立方程；②設(shè)而不求；③韋達(dá)定理；④弦長(zhǎng)公式等．