Question

如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊AB在軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，，D是OC的中點(diǎn)．以A、B為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)C的直線與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)M在點(diǎn)C、N之間，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1橢圓E的方程為．（2）．

（1）在等腰直角三角形ABC中，因?yàn)樾边?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134550515308.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以．所以橢圓的半焦距．
因?yàn)?i>D是OC的中點(diǎn)，所以橢圓的短半軸長，
所以橢圓的長半軸長． 
所以橢圓E的方程為．
(2)設(shè)，，則， ．
由，得．所以 ①
因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，所以②　將①代入②得，
消去，得．
所以．根據(jù)題意，得，所以．
解得．③ 
因?yàn)辄c(diǎn)M在點(diǎn)C、N兩點(diǎn)之間，，所以，④ 
根據(jù)③、④，得。