Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取AB中點，連接OC，OA1 ，
∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°
∴OC⊥AB，OA1⊥AB，
∵OC∩OA1=O，
∴AB⊥平面OCA1 ，
∵CA1平面OCA1 ，
∴AB⊥A1C；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC兩兩垂直．
以O為坐標原點， 的方向為x軸的正向，建立如圖所示的坐標系，
可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0），
則 =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ），
設 =（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，
則 ，
可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞=﹣ ，
又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，
故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：﹣ ．


【解析】（Ⅰ）取AB中點，連接OC，OA1 ， 得出OC⊥AB，OA1⊥AB，運用AB⊥平面OCA1 ， 即可證明．（Ⅱ）易證OA，OA1 ， OC兩兩垂直．以O為坐標原點， 的方向為x軸的正向建立坐標系，可向量的坐標，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．