【題目】（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一點(diǎn)，則有.試證明該命題.

（2）將上述命題推廣到P為空間上任一點(diǎn)的情形，寫(xiě)出這個(gè)推廣后的命題并加以證明.

（3）將矩形ABCD進(jìn)一步推廣到長(zhǎng)方體，并利用（2）得到的命題建立并證明一個(gè)新命題.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖①，設(shè)在直角坐標(biāo)平面中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)，則

故.

（2）推廣命題：若棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，則有.

證明：如圖②，設(shè)棱錐的底面ABCD在空間直角坐標(biāo)系的平面上，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則

，

，

故.

（3）再推廣命題：設(shè)是長(zhǎng)方體，P是空間上任意一點(diǎn)，則

.

證明：如圖③，由（2）中定理可得

，

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】袋子中有四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“美、麗、中、國(guó)”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“國(guó)”兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“中、國(guó)、美、麗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

232 321 230 023 123 021 132 220 001

231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，圓過(guò)點(diǎn)，且與交于， 是等腰直角三角形，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）已知圓過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，求圓的方程；

（2）已知圓與軸相切，圓心在直線(xiàn)上，且圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果從北大打車(chē)到北京車(chē)站去接人，聰明的專(zhuān)家一定會(huì)選擇走四環(huán)。雖然從城中間直穿過(guò)去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實(shí)上不會(huì)真有人認(rèn)為這樣走能抄近路。在城市中，專(zhuān)家估算兩點(diǎn)之間的距離時(shí)，不會(huì)直接去測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的直線(xiàn)距離，而會(huì)去考慮它們相距多少個(gè)街區(qū)。在理想模型中，假設(shè)每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標(biāo)走（不故意繞遠(yuǎn)路），不管你這樣走，花費(fèi)的路程都是一樣的。出租車(chē)幾何學(xué)（taxicab geometry），所謂的“出租車(chē)幾何學(xué)”是由十九世紀(jì)的另一位真專(zhuān)家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車(chē)幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線(xiàn)還是滿(mǎn)足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來(lái)一樣。只是直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”：，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：

（1）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”方程，并作出大致圖像；

（2）在出租車(chē)幾何學(xué)中，到兩點(diǎn)、“距離”相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為線(xiàn)段的“垂直平分線(xiàn)”，已知點(diǎn)，，；

①寫(xiě)出在線(xiàn)段的“垂直平分線(xiàn)”的軌跡方程，并寫(xiě)出大致圖像；

②求證：三邊的“垂直平分線(xiàn)”交于一點(diǎn)（該點(diǎn)稱(chēng)為的“外心”），并求出的“外心”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車(chē)輛較多某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速分成六段：，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．

某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？

求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值．

若從車(chē)速在的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在的車(chē)輛至少有一輛的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊．某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.

（1）如果要用線(xiàn)性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案，

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)．

從實(shí)際生活背景以及線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

（2）某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷(xiāo)售某本暢銷(xiāo)書(shū)籍的紙質(zhì)版本和電子書(shū)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)該書(shū)籍的大量讀者中，只購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書(shū)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．

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