Question

如圖，已知曲線C：在點(diǎn)P（1，1）處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₁，過點(diǎn)Q₁作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₁，曲線C在點(diǎn)P₁處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₂，過點(diǎn)Q₂作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₂，…，依次得到一系列點(diǎn)P₁、P₂、…、P_n，設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面積
（Ⅲ）設(shè)直線OP_n的斜率為k_n，求數(shù)列{nk_n}的前n項(xiàng)和S_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過求導(dǎo)即可得到切線的斜率，進(jìn)而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關(guān)系，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面積公式、梯形的面積公式及（Ⅰ）的結(jié)論即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求出nk_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可求出S_n，進(jìn)而證明結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴f^′（1）=-1，
∴曲線C：在點(diǎn)P（1，1）處的切線為y-1=-（x-1），
令y=0，則x=2，∴Q₁（2，0），∴，∴x₁=2．
則過點(diǎn)的切線斜率為，其方程為，
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴．
∴數(shù)列{x_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴．
（Ⅱ）∵=-
=-
===．
（Ⅲ）證明：由（1）可知：k_n====，∴nk_n=．
∴S_n=…+，
4S_n=+…+，
兩式相減得3S_n═1+++…+-=-，
∴S_n=．
故成立．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．