Question

已知函數(shù)f(x)＝(ax²＋x)e^x，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R.
(1)當(dāng)a<0時(shí)，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
(3)當(dāng)a＝0時(shí)，求整數(shù)k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．

Answer 1

（1）（2）（3）{－3，1}

(1)因?yàn)閑^x>0，所以不等式f(x)>0即為ax²＋x>0.
又a<0，所以不等式可化為x <0，所以不等式f(x)>0的解集為.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x＋1]e^x，
①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝(x＋1)e^x，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號，故a＝0符合要求；
②當(dāng)a≠0時(shí)，令g(x)＝ax²＋(2a＋1)x＋1，因?yàn)棣ぃ?2a＋1)²－4a＝4a²＋1>0，所以g(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，不妨設(shè)x₁>x₂，因此f(x)有極大值又有極小值．若a>0，因?yàn)間(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)內(nèi)有極值點(diǎn)，故f(x)在[－1，1]上不單調(diào)．若a<0，可知x₁>0>x₂，因?yàn)間(x)的圖象開口向下，要使f(x)在[－1，1]上單調(diào)，因?yàn)間(0)＝1>0，必須滿足即所以－≤a≤0.綜上可知，a的取值范圍是.
(3)當(dāng)a＝0時(shí)，方程即為xe^x＝x＋2，由于e^x>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等價(jià)于e^x－－1＝0.
令h(x)＝e^x－－1，因?yàn)閔′(x)＝e^x＋>0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－2>0，h(－3)＝e^－3－<0，h(－2)＝e^－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[－3，－2]上，所以整數(shù)k的所有值為{－3，1}