【題目】如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬為，要求通行車輛限高，隧道全長為，隧道的拱線可近似的看成半個(gè)橢圓形狀．

（1）若最大拱高為，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？

（2）若最大拱高不小于，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使隧道的土方工程量最小？

（注： 1.半個(gè)橢圓的面積公式為；2.隧道的土方工程量=截面面積隧道長）

【答案】（1）32；（2）當(dāng)拱高為，拱寬為時(shí)，土方工程量最小．

【解析】

試題分析：本題是橢圓的實(shí)際應(yīng)用題，考查利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程解應(yīng)用題．（1）以車道中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則在橢圓上，這時(shí)橢圓方程可設(shè)為，由及點(diǎn)坐標(biāo)可求得橢圓中的，從而得結(jié)論；（2）隧道的土方工程量最小即半橢圓的面積最小，即橢圓的面積為最小，利用標(biāo)準(zhǔn)方程及基本不等式可求得的最小值．

試題解析：（1）以車道中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)橢圓的方程為，則解之得：，

此時(shí)．

（2）由，可知，

故，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

答：當(dāng)拱高為，拱寬為時(shí)，土方工程量最小．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)， ， 分別切圓于， 兩點(diǎn).

①若，求及直線的方程；

②求證：直線恒過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)平分線段，試求直線的方程；

（2）設(shè)與滿足（1）中條件的直線平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是 （ ）

A.由五個(gè)平面圍成的多面體只能是四棱錐

B.棱錐的高線可能在幾何體之外

C.僅有一組對(duì)面平行的六面體是棱臺(tái)

D.有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：

①已知集合，則“”是“”的充分不必要條件；

②“”是“”的必要不充分條件；

③“函數(shù)的最小正周期為”是“”的充要條件；

④“平面向量與的夾角是鈍角”的要條件是“”.

其中正確命題的序號(hào)是 .（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》

已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos（θ－）．

（1）求直線l的傾斜角和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn),求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐，底面為直角梯形，，底面，

為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）已知，求點(diǎn)到平面的距離.

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