Question

已知函數(shù)f(x)=sinx+tan

x

2

+x3，x∈(-1，1)，則滿足不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（0，

2

3

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)奇偶性的定義判斷出f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性得到f（x）的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性列出關(guān)于a的不等式組，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sinx+tan

x

2

+x3，x∈(-1，1)，
∴f（-x）=sin（-x）+tan

-x

2

+（-x）³=-（sinx+tan

x

2

+x³）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0，即f（a-1）＜-f（2a-1），即f（a-1）＜f（1-2a），
∵y=sinx在（-

π

2

，

π

2

）上單調(diào)遞增，則y=sinx在（-1，1）上單調(diào)遞增，
y=tan

x

2

在（-π，π）上單調(diào)遞增，則y=tan

x

2

在（-1，1）上單調(diào)遞增，
y=x³在R上單調(diào)遞增，則y=x³在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=sinx+tan

x

2

+x³在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴不等式f（a-1）＜f（1-2a），轉(zhuǎn)化為

-1＜a-1＜1 -1＜2a-1＜1 a-1＜1-2a

，解得0＜a＜

2

3

，
∴滿足不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，

2

3

)．
故答案為：(0，

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，綜合運(yùn)用了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性去掉“f”．屬于中檔題．