已知函數(shù)f(x)=
x 2+ax+a
x
,且a<1.
(1)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(2)在(1)的條件下,若m滿(mǎn)足f(3m)>f(5-2m),試確定m的取值范圍.
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x•f(x)+|x2-1|+(k-a)x-a,k為常數(shù).若關(guān)于x的方程g(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)解x1,x2,求k的取值范圍,并比較
1
x1
+
1
x2
與4的大。
(1)由題得:f(x)=x+
a
x
+a,設(shè)1≤x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(x1+
a
x1
+a)-(x2+
a
x2
+a)=x1-x2+
a
x1
-
a
x2

=(x1-x2
(x1x2-a)
x1x2

∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,又a<1,得x1x2-a>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).
(2)由(1)得:f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
要滿(mǎn)足f(5-2m)<f(3m)
只要1≤5-2m<3m,
∴m的取值范圍為:1<m≤2.
(3)g(x)=x•f(x)+|x2-1|+(k-a)x-a=x2+kx+|x2-1|
g(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)解x1,x2,不妨設(shè)0<x1<x2<2,
g(x)=
kx+1,0<x≤1
2x2+kx-1,1<x<2
,
所以g(x)在(0,1]是單調(diào)函數(shù),
故g(x)=0在(0,1]上至多一個(gè)解,
若1<x1<x2<2,則x1x2=-
1
2
<0,
故不符題意,
因此0<x1≤1<x2<2.
由g(x1)=0得k=-
1
x1
,所以k≤-1;
由g(x2)=0得k=
1
x2
-2x2
,所以-
7
2
<k<-1;
故當(dāng)-
7
2
<k<-1時(shí),方程g(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)解.
方法一:因?yàn)?<x1≤1<x2<2,
所以k=-
1
x1
,2x22+kx2-1=0
消去k得2x1x22-x1-x2=0
1
x1
+
1
x2
=2x2
,因?yàn)閤2<2,
所以
1
x1
+
1
x2
<4.
方法二:由g(x1)=0得x1=-
1
k,

由2x2+kx-1=0得x=
-k±
k2+8
4
;
因?yàn)閤2∈(1,2),所以x2=
-k+
k2+8
4

1
x1
+
1
x2
=-k+
-k+
k2+8
4
=
1
2
(
k2+8
-k)

而y=
1
2
(
k2+8
-k)
=
4
k2+8?
+k
(-
7
2
,-1)
上是減函數(shù),
1
2
(
k2+8
-k)
1
2
(
(-
7
2
)
2
+8
+
7
2
)
=4.
因此,
1
x1
+
1
x2
<4.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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