在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)．
（1）證明：A1B1⊥C1D；
（2）當(dāng)AM=
3
2
時，求二面角M-DE-A的大�。�
分析：（1））以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用
A1B1
•
C1D
=0．證明A1B1⊥C1D
（2）分別求出平面MDE，平面DEA的一個法向量，利用兩個法向量夾角求二面角M-DE-A的大�。�
解答：（1）證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則A1（1，0，1），B1（0，1，1），C1（0，0，1），D（
1
2
，
1
2
，0），
A1B1
=（-1，1，0），
C1D
=（
1
2
，
1
2
，-1），則
A1B1
•
C1D
=0．所以
A1B1
⊥
C1D
=0．所以A1B1⊥C1D；   …（6分）
（2）解：M(1，0，
3
2
)，E(0，
1
2
，0)，
ED
=(
1
2
，0，0)，
ME
=(-1，
1
2
，-
3
2
)，
設(shè)
n
=（x，y，z）為平面MDE的一個法向量．則
n
•
ED
=0
n
•
ME
=0
即
1
2
x=0
-x+
1
2
y-
3
2
z=0
，令y=
3
，則x=0，z=1，所以
n
=（0，
3
，1）
又
CC1
=（0，0，1）為平面DEA的一個法向量，所以cos＜
n
，
CC1
＞=
n
•
CC1
|n|
|CC1
|
=
1
2

所以二面角M-DE-A的大小為
π
3
．
點(diǎn)評：本題考查空間直線和直線的位置關(guān)系，二面角大小求解．考查邏輯思維、空間想象能力、論證計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大��；
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=a （a為常數(shù)）．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)確定一條直線，使該直線與直線CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個三棱錐的體積；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行，問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，寫出作法，并說明理由；
（2）求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值．

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同步練習(xí)冊答案