Question

【題目】在數(shù)列中,若是正整數(shù),且, ,則稱為“D-數(shù)列”.

(1)舉出一個(gè)前六項(xiàng)均不為零的“D-數(shù)列”(只要求依次寫出該數(shù)列的前六項(xiàng));

(2)若“D-數(shù)列”中,,,數(shù)列滿足,,分別判斷當(dāng)時(shí),與的極限是否存在?如果存在,求出其極限值(若不存在不需要交代理由);

(3)證明:任何“D-數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1）（2）的極限不存在.的極限存在.極限值為6 （3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）舉出一個(gè)例子即可

（2）的極限不存在.的極限存在，計(jì)算得到，得到答案.

（3）假設(shè)中只有有限個(gè)零, 則存在, 使得當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí), 記，計(jì)算得到形成了一列嚴(yán)格遞減的無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，不能成立，得到證明.

(1)

(2)的極限不存在.的極限存在.

事實(shí)上, 因?yàn)?/span>, , , 當(dāng)時(shí), .因此當(dāng)時(shí), .所以.

(3) 反證法, 假設(shè)中只有有限個(gè)零, 則存在, 使得當(dāng)時(shí), .

當(dāng)時(shí), 記

于是, , 故,

而, 從而.

這樣形成了一列嚴(yán)格遞減的無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列, 這不可能,故假設(shè)不成立, 中必有無(wú)限個(gè).