【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù),且函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,3).
(1)求實(shí)數(shù)a,b值;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增;
(3)求函數(shù)[1,+∞)上f(x)的值域.
【答案】
(1)解:∵函數(shù) 是奇函數(shù),則f(﹣x)=﹣f(x),
∴ ,a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0.
又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),∴ ,∵b=0,∴a=2
(2)解:由題意可得 ,
任取 ,并設(shè)x1<x2,
則 ,∵ 且x1<x2 ,
∴ ,1﹣2x1x2<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在 上單調(diào)遞增
(3)解:由(2)知f(x)在 上單調(diào)遞增,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)在[1,+∞)上的值域?yàn)閇f(1),+∞),即[3,+∞)
【解析】(1)根據(jù)f(﹣x)=﹣f(x)求得b的值,根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),求得a的值.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f(x)在 上單調(diào)遞增.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[1,+∞)上的值域.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,以及對函數(shù)的奇偶性的理解,了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1、F2 , 離心率為 ,雙曲線方程為 =1(a>0,b>0),直線x=2與雙曲線的交點(diǎn)為A、B,且|AB|= .
(Ⅰ)求橢圓與雙曲線的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn),交雙曲線與P、Q兩點(diǎn),當(dāng)△F1MN(F1為橢圓的左焦點(diǎn))的內(nèi)切圓的面積取最大值時,求△F1PQ的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為備戰(zhàn)年瑞典乒乓球世界錦標(biāo)賽,乒乓球隊(duì)舉行公開選撥賽,甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單.現(xiàn)甲、乙、丙三人進(jìn)行隊(duì)內(nèi)單打?qū)贡荣,每兩人比賽一場,共賽三?/span>,每場比賽勝者得分,負(fù)者得分,在每一場比賽中,甲勝乙的概率為,丙勝甲的概率為,乙勝丙的概率為,且各場比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)設(shè)在該次對抗比賽中,丙得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦長AB為直徑的圓過原點(diǎn),若存在求出直線的方程l,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, 是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,圓,點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求拋物線的方程;
(2)點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,分別與軸交于兩點(diǎn).
求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1 , A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1 , 則BM與AN所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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