【題目】已知數(shù)列,滿足…).

1)若,求的值;

2)若,則數(shù)列中第幾項(xiàng)最?請(qǐng)說明理由;

3)若n=1,2,3,…),求證:“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…)”.

【答案】(1)(2)第8項(xiàng)最小,理由見解析(3)證明見解析

【解析】

1)由可判斷是等差數(shù)列,則,進(jìn)而利用等差數(shù)列性質(zhì)求解即可;

2)法一:利用數(shù)列的增減性進(jìn)行判斷即可;

法二:求出的通項(xiàng)公式,利用均值不等式求最值,即可得到取等條件,進(jìn)而求解;

(3)若數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,說明數(shù)列為等差數(shù)列,…)推出…);若數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…),設(shè)公差為,轉(zhuǎn)化推出…),說明數(shù)列為等差數(shù)列,結(jié)論得證

1)由,可得,故是等差數(shù)列,

所以

2

當(dāng)時(shí),,解得,

當(dāng)時(shí),,解得,

故有,

所以數(shù)列最小,即第8項(xiàng)最小

法二:由,

可知

(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào))

所以數(shù)列中的第8項(xiàng)最小

3)證明:若數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,

為常數(shù),

所以數(shù)列為等差數(shù)列,

…),

,故…)成立,故必要性成立;

若數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…),設(shè)的公差為,

n=1,2,3,…),

,故,

,,故,

所以,故有,所以為常數(shù),

故數(shù)列為等差數(shù)列,故充分性成立,

綜上可得,“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…)”

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

)在()的條件下,設(shè),問是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù),.

1)若,求證:當(dāng)時(shí),

2)若函數(shù)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,在三棱柱,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,的中點(diǎn).

1)求證平面;

2)求二面角的余弦值;

3)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線的斜率為,且原點(diǎn)到直線的距離為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)

1)若,,求的值域;

2)當(dāng)時(shí),求的最小值

3)是否存在實(shí)數(shù)、,同時(shí)滿足下列條件:① ;② 當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí),其值域?yàn)?/span>.若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,P為正方體的交點(diǎn),則在該正方體各個(gè)面上的射影可能是()

A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④

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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表:

指數(shù)值

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

如圖是某市101—20指數(shù)變化趨勢(shì):

下列敘述正確的是( )

A.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好

B.20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C.20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

D.總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量差

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【題目】一幢高樓上安放了一塊高約10 米的 LED 廣告屏,一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的 C 處測得廣告屏頂端A 處的仰角為 31.80°,再向大樓前進(jìn) 20 米到 D 處,測得廣告屏頂端 A 處的仰角為 37.38°(人的高度忽略不計(jì)).

1)求大樓的高度(從地面到廣告屏頂端)(精確到 1 米);

2)若大樓的前方是一片公園空地,空地上可以安放一些長椅,為使坐在其中一個(gè)長椅上觀看廣告屏最清晰(長 椅的高度忽略不計(jì)),長椅需安置在距大樓底部 E 處多遠(yuǎn)?已知視角 AMB M 為觀測者的位置, B 為廣告屏 底部)越大,觀看得越清晰.

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