Question

【題目】已知橢圓C： 的左焦點(diǎn)F為圓的圓心，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為。

（I）求橢圓C的方程；

（II）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（），證明： 為定值。

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，且定值為

【解析】試題分析:（1）橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為，即，根據(jù)圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)，即得，解得，b=1（2）以算代證：設(shè)， ，直線的方程為，則利用向量數(shù)量積得，結(jié)合直線方程化簡(jiǎn)得，最后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得為定值

試題解析：解：(Ⅰ)因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以橢圓的半焦距，又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為

所以，即

所以，所求橢圓方程為：

(Ⅱ)①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為： ，

可求得，

此時(shí)，

②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

由 得

設(shè)， 則 ， ，則

所以為定值，且定值為。