Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，則A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值構(gòu)成的集合是（　　）

A．{t| 2 5 5 ≤t≤2 3 }

B．{t| 2 5 5 ≤t≤2}

C．{t|2≤t≤2 3 }

D．{t|2≤t≤2 2 }

Answer 1

設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)
分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點(diǎn)F是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn)．
設(shè)直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察，可得
當(dāng)F與M（或N）重合時(shí)，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí)，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達(dá)到最大值，滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]
故選：D