Question

【題目】
（1）[選修4﹣1：幾何證明選講]
如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BD=DC，連接AC，AE，DE．
求證：∠E=∠C．

（2）[選修4﹣2：矩陣與變換]
已知矩陣A的逆矩陣 ，求矩陣A的特征值．
（3）[選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P（ ， ），圓心為直線ρsin（θ﹣ ）=﹣ 與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．
（4）[選修4﹣5：不等式選講]
已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x+y|＜ ，|2x﹣y|＜ ，求證：|y|＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接 AD．

∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．

∴AD⊥BD（垂直的定義）．

又∵BD=DC，∴AD是線段BC 的中垂線（線段的中垂線定義）．

∴AB=AC（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）．

∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)）．

又∵D，E 為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，

∴∠B=∠E（同弧所對圓周角相等）．

∴∠E=∠C（等量代換）．

（2）

解：∵矩陣A的逆矩陣 ，∴A=

∴f（λ）= =λ2﹣3λ﹣4=0

∴λ1=﹣1，λ2=4

（3）

解：∵圓心為直線ρsin（θ﹣ ）=﹣ 與極軸的交點(diǎn)，

∴在ρsin（θ﹣ ）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）．

∵圓C 經(jīng)過點(diǎn)P（ ， ），∴圓C的半徑為PC=1．

∴圓 的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．

（4）

證明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜ ，|2x﹣y|＜ ，

∴3|y|＜ ，

∴

【解析】（1）．要證∠E=∠C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對圓周角，相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到．從而得證．
（2）．由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而求出矩陣A的特征值．
（3）．根據(jù)圓心為直線ρsin（θ﹣ ）=﹣ 與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)P（ ， ），求出圓的半徑，從而得到圓的極坐標(biāo)方程．
（4）．根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求證．
【考點(diǎn)精析】利用不等式的證明對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．