點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=
2
，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為
2
3
，則這個(gè)球的表面積為（　�。�
A．
125
6
π		B．8πC．
25
4
π		D．
25
16
π
根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為
1
3
×S△ABC×DQ=
2
3
，
即
1
3
×1×DQ=
2
3
，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2-R）2，∴R=
5
4

則這個(gè)球的表面積為：S=4π（
5
4
）2=
25
4
π；
故選C．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正四面體ABCD的棱長為2，所有與它的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面體所得截面的面積之和是
（　�。�
A．3+
3
B．4C．3D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
a，BC=CA=AA1=a，且A1O⊥平面ABC，點(diǎn)O在AC上且為AC中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

三個(gè)球半徑的比為1：2：3，那么最大的球的體積是剩下兩個(gè)球的體積和的（　�。�
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知四面體ABCD中，BD=
3
，BC=DC=1，其余棱長均為2，且四面體ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（　�。�
A．
2π
3
B．
4π
3
C．
8π
3
D．
16π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知一個(gè)邊長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的直徑為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

長方體的三條棱長分別為1，
2
，
6
，則此長方體外接球的體積與表面積之比為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，截去三個(gè)角A-BDA1，C-BDC1，B1-BA1C1后形成的幾何體的體積與原正方體的體積之比值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知矩形ABCD，AB=1，BC=x，將△ABD沿矩形對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，則（　　）
A．?x∈（0，2），都存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD
B．?x∈（0，2），都不存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD
C．?x＞1，都存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD
D．?x＞1，都不存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

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