設f(x)是定義在D上的函數(shù),若對D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有f(
1
3
x1+
2
3
x2
)<
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)
,則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f(x)=x2是否為定義域上的C函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),試證明f(x)不是R上的C函數(shù);
(Ⅲ)設f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)a∈[0,1]以及D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有f(ax1+(1-a)x2)≤af(x1)+(1-a)f(x2),則稱f(x)為定義在D 上的π函數(shù).已知f(x)是R上的m函數(shù).m是給定的正整數(shù),設an=f(n),n=0,1,2,…m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)C函數(shù)定義,對D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有f(
1
3
x1+
2
3
x2
)<
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)
,可用作差法證明f(x)=x2是否為定義域上的C函數(shù);
(Ⅱ)利用特殊值發(fā)進行判斷,只要有一個點不滿足即可;
(Ⅲ)對任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1]利用α-β函數(shù)的概念求得an=2n,從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題;
解答:(Ⅰ))解:∵f(
1
3
x1+
2
3
x2)-[
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)]=(
1
3
x1+
2
3
x22-(
1
3
x12+
2
3
x22)=-
2
9
x12-
2
9
x22+
4
9
x1x2=-
2
9
(x1-x2)2<0,
∴對定義域中的任意兩數(shù)x1,x2恒有f(
1
3
x1+
2
3
x2)<
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)成立,
∴f(x)=x2是其定義域上的C函數(shù);
(Ⅱ)證明:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,
∴令x1=x,x2=-x,代入有f[
1
3
×x+
2
3
(-x)]<
1
3
f(x)+
2
3
f(-x),即f(
1
3
x)>
1
3
f(x);
令x1=-x,x2=x,代入有f[
1
3
×(-x)+
2
3
(x)]<
1
3
f(-x)+
2
3
f(x),即f(
1
3
x)<
1
3
f(x);
兩式矛盾,即f(x)不是定義在R上的C函數(shù);
∴f(x)不是定義在R上的C函數(shù).
(Ⅲ)對任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1],
∵f(x)是R上的π函數(shù),an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m
×2m=2n;
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可知f(x)=2x是π函數(shù),且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此時Sf=m2+m.
綜上所述,Sf的最大值為m2+m.
點評:本題考查函數(shù)的概念、最值及數(shù)列的求和,難點在于通過對π函數(shù)的理解轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題,屬于難題.
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(理)設f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,則稱f(x)為定義在D上的下凸函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1x
 (x<0)
是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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①y=3-2f(x)  ②y=1+  ③y=[f(x)]2  ④y=1-

A.1個           B.2個             C.3個             D.4個

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設f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,則稱f(x)為定義在D上的下凸函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),數(shù)學公式是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1
x
 (x<0)
是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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