【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段垂足為,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),且滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn),點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn).問(wèn):軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過(guò)該定點(diǎn)?若存在,求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在定點(diǎn),理由詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),利用關(guān)系,將點(diǎn)坐標(biāo)表示為形式,代入拋物線方程,即可求解;
(2)將直線與軌跡方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)關(guān)系,建立縱坐標(biāo)關(guān)系,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),求出直線方程,進(jìn)而求出坐標(biāo),先求出為原點(diǎn)時(shí), 為直徑的圓過(guò)軸正半軸上定點(diǎn),而后證明為曲線不同于任意點(diǎn)時(shí),判定該定點(diǎn)是否在以為直徑的圓上,即可求出結(jié)論.
(1)設(shè),則,
在拋物線上,
為曲線的方程;
(2)設(shè),
聯(lián)立,消去,
,
直線的斜率為,
直線方程為,
令,
所以,同理,
令中點(diǎn)坐標(biāo)為,
,
以為直徑的圓方程為,
令或(舍去)
當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)是以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),
當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí),,
,
,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),
軸正半軸上存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過(guò)該定點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三共有1000位學(xué)生,為了分析某次的數(shù)學(xué)考試成績(jī),采取隨機(jī)抽樣的方法抽取了50位高三學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如圖所示頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 18 | 12 | 6 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算成績(jī)?cè)?/span>的頻率并計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值(同組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(2)用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>和的學(xué)生中共抽取5人,從這5人中任取2人,求成績(jī)?cè)?/span>和中各有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)有位學(xué)生申請(qǐng)、、三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué),且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.
(1)求恰有人申請(qǐng)大學(xué)的概率;
(2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左,右焦點(diǎn),,上頂點(diǎn)為,,為橢圓上任意一點(diǎn),且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則是否存在常數(shù),使得點(diǎn)到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn).定義點(diǎn)的“友好點(diǎn)”為:,現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)的“友好點(diǎn)”是點(diǎn),則點(diǎn)的“友好點(diǎn)”一定是點(diǎn).
②單位圓上的點(diǎn)的“友好點(diǎn)”一定在單位圓上.
③若點(diǎn)的“友好點(diǎn)”還是點(diǎn),則點(diǎn)一定在單位圓上.
④對(duì)任意點(diǎn),它的“友好點(diǎn)”是點(diǎn),則 的取值集合是 .
其中的真命題是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中.直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C關(guān)于直線l對(duì)稱,求a的值;
(2)若A、B為曲線C上兩點(diǎn).且∠AOB,求|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1﹣2,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,且b1,b3,b11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),PA=PD=AD=2,BC=1,.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若M是棱PC上的一點(diǎn),且滿足,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
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