Question

借助計算機(jī)（器）作某些分段函數(shù)圖象時，分段函數(shù)的表示有時可以利用函數(shù)S(x)=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函數(shù)g(x)=

x，x＞2 0，x=2 -x，x＜2.

可以將g（x）表示為g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．
設(shè)f（x）=（-x²+4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）．
（Ⅰ）請把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x-k），且F（x）為奇函數(shù)，寫出滿足條件的k值；（不需證明）
（Ⅲ）設(shè)h（x）=（x²-x+a-a²）S（x-a）+（x²+x-a-a²）S（a-x），求函數(shù)h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I）分當(dāng)x＞1、當(dāng)x=1和當(dāng)x＜1時3種情況加以討論，分別根據(jù)S（x）的對應(yīng)法則代入，可得f（x）相應(yīng)范圍內(nèi)的表達(dá)式，最后綜合可得函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（II）因為函數(shù)F（x）的定義域為R，所以F（x）為奇函數(shù)，得F（0）=f（-k）=0，由此結(jié)合-k的范圍代入f（x）的表達(dá)式，再根據(jù)奇函數(shù)的定義加以驗證，即可得到滿足條件的k值；
（III）由題意，可得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分a≥

1

2

、0≤a＜

1

2

、-

1

2

＜a＜0和a≤-

1

2

的4種情況進(jìn)行討論，最后綜合可得當(dāng)a≤0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

；當(dāng)a＞0時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）分情況討論：
①當(dāng)x＞1時，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②當(dāng)x=1時，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③當(dāng)x＜1時，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4       x=1 x2-1，x＜1

…（2分）
（Ⅱ）若F（x）為奇函數(shù)，則F（0）=f（-k）=0，
①當(dāng)-k＞1時，解出k=-1或-3，但k=-3不符合題意；②當(dāng)-k=1時，解出f（-k）=0，恒成立，得k=-1；
③當(dāng)-k＜1時，解出k=-1或1，但k=1不符合題意
綜上所述，得當(dāng)k=-1時，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)．…（4分）
（Ⅲ）由已知，得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

并且函數(shù)s=x²-x+a-a²與t=x²+x-a-a²在x=a處的值相同．…（5分）
①當(dāng)a≥

1

2

時，h（x）在區(qū)間(-∞，-

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-

1

2

，a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，h（x）的最小值為f(-

1

2

)=(-

1

2

)2+(-

1

2

)-a-a2=-a2-a-

1

4

．…（6分）
當(dāng)-

1

2

＜a＜

1

2

時，h（x）在區(qū)間(-∞，-

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-

1

2

，a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(a，

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
所以h（x）最小值為f(-

1

2

)與f(

1

2

)中較小的一個，即-a2-a-

1

4

與-a2+a-

1

4

中較小的一個．
②當(dāng)-

1

2

＜a＜0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

．…（7分）
③當(dāng)0≤a＜

1

2

時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．…（8分）
④當(dāng)a≤-

1

2

時，在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a，

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
所以h（x）的最小值為f(

1

2

)=(

1

2

)2-(

1

2

)+a-a2=-a2+a-

1

4

．…（9分）
綜上所述，得：當(dāng)a≤0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

，當(dāng)a＞0時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．…（10分）

點評：本題以分段函數(shù)和含有字母參數(shù)的二次函數(shù)為載體，討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與最小值，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶性與單調(diào)性的綜合等知識，屬于難題．