Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3
（1）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3的圖象是開口朝上，且以直線x=8為對(duì)稱軸的拋物線，

故函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上為減函數(shù)，

若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，

則 ，即 ，

解得：q∈[﹣20，12]

（2）解：若存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為﹣51，

當(dāng)0＜q≤8時(shí)，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），

當(dāng)8＜q＜10時(shí)，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），

綜上所述，存在q=9，使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為﹣51

【解析】（1）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，則 ，即 ，解得實(shí)數(shù)q的取值范圍；（2）假定存在滿足條件的q值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)q進(jìn)行分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．