Question

以下是關(guān)于圓錐曲線的四個(gè)命題：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若PA-PB=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；
④以過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
其中真命題為    （寫(xiě)出所以真命題的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根 和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③正確，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0）．④通過(guò)拋物線的性質(zhì)即可說(shuō)明正誤．
解答：解：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線．
②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為 和2，和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
③正確，雙曲線 有相同的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0）；
④正確；不妨設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對(duì)稱軸．
設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．
而P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．
又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=，
由拋物線的定義可得：=半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
所以圓與準(zhǔn)線是相切．
故答案為：②③④
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，考查橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)，解題時(shí)要準(zhǔn)確理解概念，基本知識(shí)的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．