Question

已知（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二次式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的中間項(xiàng)；
（2）求（1-ax）ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用展開式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中間項(xiàng)．
（2）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，直接求出展開式的系數(shù)的最大項(xiàng)即可．
解答：解：（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，，…①；
第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．即，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展開式的中間項(xiàng)為=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)在奇數(shù)項(xiàng)中，分別是第一項(xiàng)=1；第三項(xiàng)=189x²，
第五項(xiàng)=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七項(xiàng)=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是第七項(xiàng)=5103x⁶．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查組合數(shù)的求法，考查計(jì)算能力．