Question

設(shè)a＞0,b＞0,a+b=1.
（1）證明：ab+≥4;
(2)探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號(hào)內(nèi)：
a²b²+≥（   ）；a³b³+≥（   ）；
（3）由（1）（2）歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.

Answer 1

證明見解析(2) 16與64

（1）證明 方法一 ab+≥44a²b²-17ab+4≥0
?(4ab-1)(ab-4)≥0.
∵ab=()²≤=,
∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,
因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.
方法二 ab+=ab++，
∵ab≤=，∴≥4，∴≥.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).
又ab+≥2=，
當(dāng)且僅當(dāng)ab=，即=4,a=b=時(shí)取等號(hào).
故ab+≥+=4
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立）.
（2）解 猜想：當(dāng)a=b=時(shí)，
不等式a²b²+≥(   )與a³b³+≥(  )取等號(hào)，故在括號(hào)內(nèi)分別填16與64.
（3）解 由此得到更一般性的結(jié)論：
aⁿbⁿ+≥4ⁿ+.
證明如下：
∵ab≤=,∴≥4.
∴aⁿbⁿ+=aⁿbⁿ++
≥2+×4ⁿ
=+=4ⁿ+，
當(dāng)且僅當(dāng)ab=,即a=b=時(shí)取等號(hào).