定義函數(shù)F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).
(1)令函數(shù)f(x)=F[1,]的圖象為曲線C1求與直線4x+15y-3=0垂直的曲線C1的切線方程;
(2)令函數(shù)g(x)=F[1,]的圖象為曲線C2,若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C2在x(x∈(1,4))處有斜率為-8的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)x,y∈N*,且x<y時(shí),證明F(x,y)>F(y,x).
【答案】分析:(1)由函數(shù)F(x,y)的定義可求得f(x),根據(jù)垂直關(guān)系可得切線斜率即f′(x)值,從而可求得切點(diǎn)坐標(biāo),求出切線方程.
(2)曲線C2在x(x∈(1,4))處存在斜率為-8的切線,即g′(x)=-8有解,由已知消去b轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,x的不等式即可解得.
(3)F(x,y)>F(y,x)?(1+x)y>(1+y)x?yln(1+x)>xln(1+y)?,構(gòu)造函數(shù)h(x)=,利用導(dǎo)數(shù)判斷h(x)單調(diào)遞減即可.
解答:解:(1)f(x)=F=x3-3x,
,得x3-3x>1.又,由f′(x)=0,得x=,
∵x3-3x>1,∴x=.又f(-)=,∴切點(diǎn)為().
∴存在與直線4x+15y-3=0垂直的切線,其方程為,即15x-4y+27=0.
(2)g(x)==x3+ax2+bx+1.
>0,得x3+ax2+bx>0,
由g′(x)=3x2+2ax+b=-8,得b=-3x2-2ax-8,
x3+ax2+bx=x3+ax2+x(-3x2-2ax-8)=-2x3-ax2-8x>0在(1,4)上有解,
∴2x2+ax+8<0在(1,4)上有解,即a在(1,4)上有解,∴a(1<x<4),
而-2x-=-(2x+)≤-2=-8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),∴a<-8.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-8).
證明:(3)F(x,y)>F(y,x)?(1+x)y>(1+y)x?yln(1+x)>xln(1+y)?,
令h(x)=,則,當(dāng)x≥2時(shí),,
∴h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)2≤x<y時(shí),h(x)>h(y),又當(dāng)x=1且y=2時(shí),h(1)=ln2
故當(dāng)x,y∈N*,且x<y時(shí),h(x)>h(y),即F(x,y)>F(y,x).
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力.
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