【題目】如圖，已知矩形所在平面與底面垂直，在直角梯形中， ， ， .

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證明，以， ， 為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，結(jié)合題設(shè)根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：∵矩形所在平面與底面垂直，則底面.

∵， ，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以， ， 為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則， ， ， ，

∵，則， ，

且，則平面.

(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于， ，

由，得，令得.

同理求得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)二面角的平面角為，

則.

又二面角為銳二面角，所以二面角的大小是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求法向量二面角及線面垂直的判定，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求a；

（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如下五個(gè)命題:

①在線性回歸模型中， 表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，在對(duì)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸分析數(shù)據(jù)中，算得，表明“女大學(xué)生的體重差異有64%是由身高引起的”

②隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越大；

③正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),這個(gè)曲線只有當(dāng)時(shí),才在軸上方；

④正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸由確定，當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由決定，并且越大，曲線越“矮胖”；

⑤若隨機(jī)變量，且則；

其中正確命題的序號(hào)是

A. ②③ B. ①④⑤ C. ①④ D. ①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)古代名詞“芻童”原來(lái)是草堆的意思，古代用它作為長(zhǎng)方體棱臺(tái)（上、下底面均為矩形額棱臺(tái)）的專(zhuān)用術(shù)語(yǔ)，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上表，下表從之，亦倍小表，上表從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一，以此算法，現(xiàn)有上下底面為相似矩形的棱臺(tái)，相似比為，高為3，且上底面的周長(zhǎng)為6，則該棱臺(tái)的體積的最大值是（ ）

A. 14 B. 56 C. D. 63

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末考試第16題) “中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”.1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”. “中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2，ρ2-2ρcos（θ-）=2．

（1）把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)兩圓交點(diǎn)分別為A、B，求直線AB的參數(shù)方程，并利用直線AB的參數(shù)方程求兩圓的公共弦長(zhǎng)|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， ，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.

（Ⅰ）若方程在內(nèi)存在唯一的根，求出的值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD＝2AD＝8,AB＝2DC＝4.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),求證:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

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