Question

若在區(qū)間[-1，1]上，函數(shù)f（x）=x³-ax+1≥0恒成立，則a的取值范圍是

[0，

3 3 2

2

]

．

Answer 1

分析：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，再對x的取值進(jìn)行分類討論，轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）=x2+

1

x

的最值問題，注意導(dǎo)數(shù)工具的運(yùn)用，列出關(guān)于字母a的不等式達(dá)到求解本題的目的．

解答：解：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，
①當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，
即a≤x2+

1

x

，x∈（0，1]恒成立，
設(shè)F（x）=x2+

1

x

，F(xiàn)′（x）=2x-

1

x2

，令F′（x）=0得x=

3	1 2

，
當(dāng)x∈（0，

3	1 2

]時(shí)F′（x）＜0，當(dāng)x∈（

3	1 2

，1]時(shí)F′（x）＞0，
故f（x）在（0，

3	1 2

]單調(diào)減，f（x）在（

3	1 2

，1]單調(diào)增，
∴當(dāng)x=

3	1 2

時(shí)，函數(shù)f（x） 取得最小值，最小值為

3 3 2

2

；
∴a≤

3 3 2

2

②當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，
即a≥x2+

1

x

，x∈[-1，0）恒成立，
設(shè)F（x）=x2+

1

x

，F(xiàn)′（x）=2x-

1

x2

，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)F′（x）＜0，
故f（x）在[-1，0）單調(diào)減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x） 取得最大值，最大值為0；
∴a≥0；
③當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x³-ax+1≥0恒成立
綜上所述，a的取值范圍是[0，

3 3 2

2

]．
故答案為：[0，

3 3 2

2

]．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，解答的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．