Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，又F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，建立方程關(guān)系，即可求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）將不等式|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）據(jù)題意，

a＞0 - b 2a =-1 a-b+1=0

，得

a=1 b=2

，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
于是F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²-（-2+1）²=8．
（Ⅱ）a=1，c=0時(shí)，f（x）=x²+bx，|x²+bx|≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，
等價(jià)于-1≤x²+bx≤1對(duì)0＜x≤1恒成立，
即

x2+bx≥-1對(duì)0＜x≤1恒成立 x2+bx≤1對(duì)0＜x≤1恒成立

，
即

b≥- x2+1 x 對(duì)0＜x≤1恒成立 b≤ -x2+1 x 對(duì)0＜x≤1恒成立

，
在0＜x≤1時(shí)，-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x=1時(shí)取最大值-2，
而

-x2+1

x

=

1

x

-x在x=1時(shí)取最小值0，
故b≥-2且b≤0，
于是-2≤b≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及不等式恒成立問(wèn)題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．