【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn),對(duì),恒有成立,設(shè)數(shù)列滿足.
(I)求證:對(duì),恒有成立;
(II)求函數(shù)的表達(dá)式;
(III)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,求的值.
【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(II);(III)2018.
【解析】試題分析:
(1)左右兩側(cè)做差,結(jié)合代數(shù)式的性質(zhì)可證得,即對(duì),恒有:成立;
(2)由已知條件可設(shè),給定特殊值,令,從而可得:,則,,從而有恒成立,據(jù)此可知,則.
(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論整理計(jì)算可得:,據(jù)此分組求和有:.
試題解析:
(1)(僅當(dāng)時(shí),取“=”)
所以恒有:成立;
(2)由已知條件可設(shè),則中,令,
從而可得:,所以,即,
又因?yàn)?/span>恒成立,即恒成立,
當(dāng)時(shí),,不合題意舍去,
當(dāng)時(shí),即,所以,所以.
(3),
所以,
即.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù) 為定義在上的奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得,據(jù)此函數(shù)的解析式為: ,
(2)結(jié)合題意可得時(shí), 仍然是奇函數(shù),由題意可知在上單調(diào)遞增,整理變形后構(gòu)造函數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減,結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得實(shí)數(shù)的最小值為.
試題解析:
(1)因?yàn)?/span>的定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),所以,
即, ,
(2)當(dāng)時(shí), 仍然是奇函數(shù),
則有: ,
求導(dǎo): 恒成立, 在上單調(diào)遞增,
令,則等價(jià)于:
對(duì)任意恒成立,
不妨設(shè),則有,即,
所以,
構(gòu)造函數(shù),現(xiàn)只需在上單調(diào)遞減,
所以,即,
因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)時(shí),即時(shí),取“=”,
則有,所以實(shí)數(shù)的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上,存在唯一的零點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)討論在其定義域上的單調(diào)性;
(2)若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ,則不等式在區(qū)間上的解集為( )
A. (1,3) B. (-1,1) C. (-1,0)∪(1,3) D. (-1,0)∪(0,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為, .
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點(diǎn),使它到直線: (為參數(shù))的距離最短,寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的滿足,前項(xiàng)的和為,且.
(1)求的值;
(2)設(shè),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)設(shè),若,求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn),與軸正半軸相交于點(diǎn).
(1)若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程;
(2)若在以為圓心半徑為的圓上存在點(diǎn),使得 (為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的取值范圍;
(3)設(shè)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,如果直線與軸分別交于和,問(wèn)是否為定值?若是求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)寫出及圖中的值.
(Ⅱ)設(shè),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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