【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).
(1)若=6,求k的值;
(2)求四邊形AEBF面積的最大值.
【答案】見解析
【解析】
解 (1)依題意得橢圓的方程為+y2=1,直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2滿足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=.①
由=6知x0-x1=6(x2-x0),
得x0= (6x2+x1)=x2=;
由D在AB上知x0+2kx0=2,
得x0=.
所以=,
化簡(jiǎn)得24k2-25k+6=0,
解得k=或k=.
(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知,點(diǎn)E,F(xiàn)到AB的距離分別為
h1==,
h2==.
又|AB|==,
所以四邊形AEBF的面積為
S=|AB|(h1+h2)
=··
=
=2≤2,
當(dāng)4k2=1(k>0),即當(dāng)k=時(shí),上式取等號(hào).
所以S的最大值為2.
即四邊形AEBF面積的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50人測(cè)量身高.據(jù)測(cè)量,被測(cè)學(xué)生身高全部介于155 cm到195 cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160);第二組[160,165);…;第八組[190,195].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù);
(Ⅱ)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖(用虛線標(biāo)出高度);
(III)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩人,記他們的身高分別為x、y,求事件“|x-y|≤5”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過(guò)點(diǎn)P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn),離心率,其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為若點(diǎn)滿足: 其中是上的點(diǎn).直線的斜率之積為,試說(shuō)明:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (2)f(x)=;
(3)f(x)=; (4)f(x)=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形, 平面, ,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上移動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),試判斷與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求證:無(wú)論點(diǎn)在的何處,都有;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間,為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制,以便向該地區(qū)居眾顯示可以過(guò)正常生活,有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”,根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算,下列各選項(xiàng)中,一定符合上述指標(biāo)的是( )
①平均數(shù)≤3;②標(biāo)準(zhǔn)差S≤2;③平均數(shù)≤3且標(biāo)準(zhǔn)差S≤2;④平均數(shù)≤3且極差小于或等于2;⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于1.
A.①② B.③④
C.③④⑤ D.④⑤
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