Question

已知向量a=（cosωx，sinωx），b=(cosωx，

3

cosωx)，其中0＜ω＜2．記f（x）=a•b．
（1）若f（x）的最小正周期為2π，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x=

π

6

，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）先由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出f（x），利用三角恒等變換公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)f（x）的最小正周期為2π求出ω，得出函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x=

π

6

，郵三角函數(shù)圖象的性質(zhì)知，當(dāng)自變量為x=

π

6

時(shí)，函數(shù)取到最大值或最小值，由此關(guān)系建立方程求出ω的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2(ωx)+

3

sin(ωx)cos(ωx)=

1+cos(2ωx)

2

+

3

2

sin(2ωx)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，
∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
由-

π

2

≤x+

π

6

≤

π

2

得-

2π

3

≤x≤

π

3

．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

](k∈Z)．（8分）
（2）∵直線x=

π

6

是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
得ω=3k+1．
又∵0＜ω＜2，
∴令k=0，得ω=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換的運(yùn)用，三角函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的單調(diào)性的求法，解題的關(guān)鍵是熟記三角恒等變換公式，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，本題知識(shí)性較強(qiáng)，在近年的高考題中多有出現(xiàn)．題后要注意總結(jié)此類題的做題規(guī)律．