(第三、四層次學(xué)校的學(xué)生做次題)
已知二次函數(shù)h(x)=ax2+bx+c(c>0),其導(dǎo)函數(shù)y=h′(x)的圖象如下,且f(x)=lnx-h(x).
(1)求a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在(
1
2
,m+
1
4
)
上是單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=2x-lnx(x∈[1,4])的圖象總在函數(shù)y=f(x)的圖象的上方,求c的取值范圍.
分析:(1)h′(x)=2ax+b,由圖象可知過(guò)A(2,-1)、B(0,3)兩點(diǎn),從而得關(guān)于a,b的方程組,解出即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的定義域,利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,由題意知,區(qū)間(
1
2
,m+
1
4
)
為函數(shù)f(x)減區(qū)間的子集,由此得不等式,注意區(qū)間端點(diǎn)間的大小關(guān)系;
(3)由題意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,即當(dāng)x∈[1,4]時(shí),c>x2-5x+2lnx恒成立,令g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為c>g(x)max,利用導(dǎo)數(shù)易求g(x)max;
解答:解:(1)h′(x)=2ax+b,其圖象為直線,且過(guò)A(2,-1)、B(0,3)兩點(diǎn),
4a+b=-1
b=3
,解得
a=-1
b=3

(2)由題意可知,f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
由(1)知,f(x)=lnx+x2-3x-c,f′(x)=2x-3+
1
x
=
2x2-3x+1
x

令f′(x)=0,得x=
1
2
或x=1,
當(dāng)0<x<
1
2
或x>1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)
1
2
<x<1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(
1
2
,1),
要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(
1
2
,m+
1
4
)
上是單調(diào)遞減函數(shù),
1
2
<m+
1
4
m+
1
4
≤1
,解得
1
4
<m≤
3
4
,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
1
4
,
3
4
];
(3)由題意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,即當(dāng)x∈[1,4]時(shí),c>x2-5x+2lnx恒成立,
設(shè)g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],則c>g(x)max
易知g′(x)=2x-5+
2
x
=
2x2-5x+2
x
=
(2x-1)(x-2)
x
,
令g′(x)=0得,x=
1
2
或x=2,
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(2,4)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.
而g(1)=1-5×1+2ln1=-4,g(4)=42-5×4+2ln4=-4+4ln2,
顯然,g(1)<g(4),故函數(shù)g(x)在[1,4]上的最大值為g(4)=-4+4ln2,
故c>-4+4ln2,
所以c的取值范圍為(-4+4ln2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想.
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(第三、四層次學(xué)校的學(xué)生做次題)
已知二次函數(shù)h(x)=ax2+bx+c(c>0),其導(dǎo)函數(shù)y=h′(x)的圖象如下,且f(x)=lnx-h(x).
(1)求a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=2x-lnx(x∈[1,4])的圖象總在函數(shù)y=f(x)的圖象的上方,求c的取值范圍.

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