【題目】已知平面內動點到兩定點和的距離之和為4.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知直線和的傾斜角均為，直線過坐標原點且與曲線相交于， 兩點，直線過點且與曲線是交于， 兩點，求證：對任意， .

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義可得動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，從而得方程；

（Ⅱ）由題設可設直線的參數(shù)方程分別為； ，將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得： ； ，由和，從而由韋達定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）解： 則根據(jù)橢圓的定義得：動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，

，

可得動點M的軌跡的方程為．

（Ⅱ）證明：由題設可設直線的參數(shù)方程分別為

； ．

將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得：

； ．

則由參數(shù)t的幾何意義、根與系數(shù)的關系及橢圓的對稱性有：

；

，

故．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)為打入國際市場，決定從兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關，為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)產(chǎn)品的原材料價格決定，預計.另外，年銷售件產(chǎn)品時需上交萬美元的特別關稅.假設生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去.

（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關系，并指明其定義域；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，，且時，數(shù)列滿足，，對任意，都有.

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）令若對任意的，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.

（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；

（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點P到定點的距離比它到直線的距離小2，設動點P的軌跡為曲線C．

求曲線C的方程；

若直線與曲線C和圓從左至右的交點依次為A，B，C，D求的值．

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【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若直線與曲線相交于， 兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求的解集；

（Ⅱ）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)和，其中，三點共線，與的延長線交于點，測得，，，，，若以所在直線分別為軸建立平面直角坐標系則河岸可看成是曲線（其中是常數(shù)）的一部分，河岸可看成是直線（其中為常數(shù)）的一部分．

（1）求的值．

（2）現(xiàn)準備建一座橋，其中分別在上，且，的橫坐標為．寫出橋的長關于的函數(shù)關系式，并標明定義域；當為何值時，取到最小值？最小值是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若,求曲線在點處的切線方程;

（Ⅱ）若,求函數(shù)的單調區(qū)間;

（Ⅲ）若,求證: .

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