Question

底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E是側(cè)棱AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD的中心，則直線EF被球O所截得的線段長(zhǎng)為

42

3

．

Answer 1

分析：由題意可知正方體的體對(duì)角線計(jì)算球的直徑，求出對(duì)角線的長(zhǎng)可得球的直徑，求出半徑．再利用勾股定理推導(dǎo)出EF=

6

2

，球心O到EF的距離為

3

3

，由此能求出結(jié)果．

解答：解：∵底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，
∴球O的半徑R=

1+1+4

2

=

6

2

，
由已知所求EF是正方體在球中其中一個(gè)截面的直徑，
∵OQ=

1

2

，EQ=

1

2

，∴OE=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∵AF=

1

2

AC=

2

2

，∴EF=

1+ 1 2

=

6

2

，
由球心O、E、F構(gòu)成的△OEF中，
OF=

( 6 2 )2-( 2 2 )2

=1，
設(shè)球心O到EF的距離為d，則

1

2

×OE×OF=

1

2

×EF×d，
∴d=

1 2 × 2 2 ×1

1 2 × 6 2

=

3

3

．
所以直線EF被球O所截得的線段長(zhǎng)=

( 6 2 )2-( 3 3 )2

×2=

42

3

．
故答案為：

42

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的外接球，球的表面積的計(jì)算，球的截面知識(shí)，考查計(jì)算能力，空間想象能力，正確利用條件求解直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)，是本題的難點(diǎn)，結(jié)合圖形直觀，易于解題．