【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，問是否在軸上存在一點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)總有？若存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用橢圓定義求軌跡方程：先由動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，得，從而，再由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為（2）條件就是，利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)得：設(shè)，則，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理得，代入化簡(jiǎn)得

試題解析：（1）得圓的圓心為，半徑；圓的圓心，半徑.設(shè)圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閳A與圓外切并與圓內(nèi)切，所以

由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為

（2）假設(shè)存在滿足.設(shè)

聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有

①，其中恒成立，

由（顯然的斜率存在），故，即②，

由兩點(diǎn)在直線上，故代入②得：

即有

③

將①代入③即有：④，要使得④與的取值無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)成立，綜上所述存在，使得當(dāng)變化時(shí)，總有

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l：與曲線C：（，）交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若，，求證：曲線C是一個(gè)圓；

（2）若曲線C過、，是否存在一定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f(x)=sin 3x-cos 3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：

①它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；

②它的最小正周期為；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱；

④它在[]上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

(2)該校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，則以下說法錯(cuò)誤的是（ ）

A.平面截正方體所的截面周長為

B.存在上一點(diǎn)使得平面

C.三棱錐和體積相等

D.存在上一點(diǎn)使得平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡(jiǎn)，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已如橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

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