Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，且M是BD的中點。

（1）求證：EM∥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－B的余弦值；

（3）在線段ED上是否存在一點P，使得BP∥平面ADF?若存在，求出EP的長度；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）取AD的中點N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz，求出平面ADF、平面EBAF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D﹣AF﹣B的大小；

（3）假設(shè)在線段ED上存在一點P，使得BP與平面ADF平行，利用向量法即可得到結(jié)果.

（1）取AD的中點N，連接MN，NF。

在△DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，所以MN∥AB，MN=AB，

又因為EF∥AB，EF=AB，

所以MN∥EF且MN=EF，

所以四邊形MNFE為平行四邊形，

所以EM∥FN，

又因為FN平面ADF，EM平面ADF，

故EM∥平面ADF。

解法二：因為EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz。

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，－2，0），

E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0）。

（1）=（，0，），=（3，－2，0），=（0，－1，）。

設(shè)平面ADF的一個法向量是

由得

令，則=（2，3，）。

又因為·=（，0，）·（2，3，）=3+0－3=0，

所以⊥，又EM平面ADF，所以EM∥平面ADF。

（2）由（1）可知平面ADF的一個法向量是=（2，3，）因為EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD，

又因為AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF，故=（3，0，0）是平面EBAF的一個法向量，

所以>=，又二面角D－AF－B為銳角，故二面角D－AF－B的余弦值為。

（3）假設(shè)在線段ED上存在一點P，使得BP與平面ADF平行。

不妨設(shè)= =（3，0，－ ）（0≤≤1），

則=（3，0，3－ ）。所以·n=6+0+3－3=0，

由題意得=<0，所以在線段ED上不存在點P，使得BP與平面ADF平行。