Question

【題目】已知有窮數(shù)列，，，，．若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．對(duì)于數(shù)列，定義如下操作過(guò)程：從中任取兩項(xiàng)，，將的值添在的最后，然后刪除，，這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程，得到的新數(shù)列記作，，如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新數(shù)列記作．

（1）設(shè)，，請(qǐng)寫出的所有可能的結(jié)果；

（2）求證：對(duì)于一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列操作總可以進(jìn)行次；

（3）設(shè)，，，，，，，，，求的可能結(jié)果，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；，；，．；（2）證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）直接按定義來(lái)操作，每次取兩個(gè)數(shù)代入計(jì)算即可求出的所有可能的結(jié)果；

（2）先通過(guò)作差得到每次操作后新數(shù)列仍是數(shù)列；再根據(jù)每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)即可得到結(jié)論；

（3）先定義運(yùn)算：，并證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律；再結(jié)合（2）可知中僅有一項(xiàng)，再按定義先求出，綜合即可得到的可能結(jié)果．

（1）直接按定義來(lái)操作，當(dāng)取0，時(shí)代入計(jì)算可得：，；

當(dāng)取0，時(shí)可得，；

當(dāng)取，時(shí)，可得，．

故有如下的三種可能結(jié)果：，；，；，．

（2）因?yàn)閷?duì)，，有

且

所以，即每次操作后新數(shù)列仍是數(shù)列．

又由于每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)，

所以對(duì)數(shù)列每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少一項(xiàng)，

所以對(duì)項(xiàng)的數(shù)列可進(jìn)行次操作（最后只剩下一項(xiàng)）.

（3）由（2）可知中僅有一項(xiàng)．

對(duì)于滿足，的實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算：，

下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律．

因?yàn)?/span>，且，所以，即該運(yùn)算滿足交換律；

因?yàn)?/span>

且

所以，即該運(yùn)算滿足結(jié)合律．

所以中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過(guò)程無(wú)關(guān)，

選擇如下操作過(guò)程求

由（1）可知；

易知，，，；

所以，0，0，0，0；

易知經(jīng)過(guò)4次操作后剩下一項(xiàng)為．

綜上可知：．