Question

已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)在區(qū)間和上的增減性；
（3）若滿足：，試證明：．

Answer 1

（1）偶函數(shù)，（2）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（3）詳見解析.

試題分析：（1）判定函數(shù)奇偶性，首先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再判斷與的相等或相反關(guān)系.本題定義域為一切實數(shù)，關(guān)于原點對稱.函數(shù)為分段函數(shù)，需分類討論. 當(dāng)時，，.當(dāng)時，，.故為偶函數(shù).（2）利用定義研究函數(shù)單調(diào)性，需注重作差后的變形，關(guān)鍵是提取公因式，進(jìn)行因式分解，以便判斷符號.（3）由于是同區(qū)間的兩個任意數(shù)，所以只需證，從而本題實質(zhì)為求函數(shù)最值.由函數(shù)奇偶性及單調(diào)性知：
，所以成立.
試題解析：解：（1）∵當(dāng)時，，∴
∴       2分
∵當(dāng)時，，∴
∴      4分
∴對都有，故為偶函數(shù)           5分
（2）當(dāng)時，
設(shè)且，則     7分
∴當(dāng)時，即
當(dāng)時，即        9分
∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)   11分
（3）由（2）可知，當(dāng)時：
若，則即
若，則即
∴當(dāng)時，有                                   12分
又由（1）可知為偶函數(shù)，∴當(dāng)時，有      13分
∴若，時，則，          14分
∴，即          15分