設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(
1
3
，0)；又直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，寫出理由．
（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
離心率為2，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(
1
3
，0)，
∴設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，
∴
c
a
=2
a=
1
3
，解得a=
3
3
，c=
2
3
3
，
b2=（
2
3
3
）2-（
3
3
）2=1，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3x2-y2=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)．
將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程3x2-y2=1后，
整理得（k2-3）x2+2kx+2=0，…①
依題意，直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)，
∴
k2-3≠0
△=(2k)2-8(k2-3)＞0
，
解得k的取值范圍是-
6
＜k＜
6
，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
則由①式得
x1+x2=
2k
3-k2
x1x2=
2
k2-3
，…②
y1y2=（kx1+1）（kx2+1）
=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），
則由FA⊥FB得：x1x2+y1y2=0，…③
把②式代入③式得：（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0
∴（1+k2）•
2
k2-3
+
2k2
3-k2
+1=0，
解得k=-1，或k=1，
∴1和-1都在（-
6
，
6
）內(nèi)，
∴存在實(shí)數(shù)k=±1，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1和拋物線C2：y2=2px（p＞0），過(guò)點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當(dāng)|AB|：|CD|=5：3時(shí)，求p的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P(-1，
3
2
)是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在λ，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為
5
？若存在，求λ值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為4
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C（
1
3
，0），使得|AC|=|BC|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，將圓p：x2+y2=4上任意一點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半（橫坐標(biāo)不變），得到點(diǎn)P，并設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（
3
，0）的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為N，且
OE
=2
ON
，點(diǎn)E在曲線C上，求直線l：
x
a
+
y
b
=1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

斜率為2的直線l與雙曲線
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的定點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

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